คณิตรอบรู้

ตร๊โกณมิติ


ตรีโกณมิติ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วย การวัดรูปสามเหลี่ยมต่าง ๆ โดยหาความสัมพันธ์ระหว่างด้าน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม มีความสำคัญต่อวิชาดาราศาสตร์ การเดินเรือ และงานสำรวจใช้ในการคำนวณส่งสูงของภูเขา และหาความกว้างของแม่น้ำ มีประโยชน์มากสำหรับวิชาวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และการศึกษาเกี่ยวกับวัตถุ ซึ่งมีสภาพเป็นคลื่น เช่น แสง เสียง แม่เหล็กไฟฟ้าและวิทยุ ส่วนที่กล่าวถึงรูปสามเหลี่ยมบนพื้นราบเรียกว่า ตรีโกณมิติระนาบ ส่วนที่กล่าวถึงรูปสามเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลมเรียกว่า ตรีโกณมิติทรงกลม 

ตรีโกณมิติ
ตรีโกณ ความหมายตามพจนานุกรมแปลว่า สามเหลี่ยม 
ตรีโกณมิติ คือ - คณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่ว่าด้วยการคำนวนมุมของสามเหลี่ยม 



ความเป็นมา
        เมื่อ 640-546 ปี ก่อนคริสต์ศักราช ทาเรส (thales)คำนวณหาความสูง ของพีรามิด ในประเทศอียิปต์โดยอาศัยเงา วิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คือ คำนวณความสูงของพีรามิดจากความยาวของเงาของพีรามิด ในขณะที่เงาของเขามีความยาวเท่ากับความสูงของเขาเอง อีกวิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คำนวณ ความสูงของพีรามิดคือ การเปรียบเทียบความยาวของเงาของพีรามิดกับความยาวของเงาของไม้(ไม้ที่ทราบความยาว ถ้าสมัยนี้ก็คือไม้เมตรนั่นเอง) โดยอาศัยรูปสามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งก็คือ อัตราส่วนตรีโกณมิติที่เรียกว่า แทนเจนต์ (tangent) นั่นเอง 

ฟิสิกข์รอบตัว

การเคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวราบ

การเคลื่อนที่แบบวงกลม                 วัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง แสดงว่ามีแรงกระทำในทิศแนวเดียวกับการเคลื่อนที่ไม่ว่าจะมี ทิศทางเดียวกัน หรือตรงกันข้ามผลจะทำให้การเคลื่อนที่นั้นเคลื่อนที่เร็วขึ้นหรือช้าลง โดยแนว การเคลื่อนที่จะอยู่ในแนวเดิม ( เส้นตรง )                 วัตถุจะเคลื่อนที่เป็นแนวโค้งแบบโพรเจกไทล์ เมื่อมีแรงกระทำต่อวัตถุนั้นในแนวทำมุมใดๆ กับการเคลื่อนที่ตลอดเวลา                 แต่ถ้าวัตถุใดมีแรงกระทำต่อวัตถุนั้นในทิศทำมุม 90 องศากับทิศการเคลื่อนที่ผลจะ ทำให้วัตถุนั้นเคลื่อนที่เป็นแนวโค้งแบบวงกลม  วัตถุที่ถูกผูกด้วยเชือกแกว่งให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม เราจะต้องออกแรงดึงเชือกไว้คลอดเวลา  แรงนี้จะมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางคือตำแหน่งที่เราจับเชือกไว้ หรือ การขับรถจักรยานยนต์ไต่ถังเป็นวงกลม  จะมีแรงจากผนังกระทำต่อรถจักรยานยนต์ตลอดเวลา ในทิศตั้งฉากกับการเคลื่อนที่  และแรงจากผนังที่กระทำต่อรถจักรยานยนต์จะมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง จึงเรียกแรงนี้ว่า แรงสู่ศูนย์กลาง    ( ) ดังรูป 1. รูป 1.  วัตถุที่ถูกแกว่งเป็นวงกลม  และ รถจักรยายนต์ไต่ถัง จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2  ของนิวตัน  วัตถุจะเปลี่ยนไปจากสภาพเดิม เมื่อมีแรงที่ไม่เท่ากับศูนย์ มากระทำ   แสดงว่าแรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นแนวโค้งแบบวงกลม จะต้องเป็น แรงสู่ศูนย์กลาง  ดังนั้นสมการของแรงสู่ศูนย์กลางจะได้ดังนี้                                 จาก                                                          จะได้                              - ความเร่งที่เกิดขึ้นกับวัตถุจะมีขนาดและทิศทางเท่าไร  และอย่างไร รูป 2.  แสดงทิศของความเร่งของวัตถุ ที่เคลื่อนที่แบบวงกลม          จากรูป 2. เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงความเร็ว ()ในช่วงเวลา t  จะเกิดความเร่งของวัตถุขึ้น  โดยความเร่งจะมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางตลอดการเคลื่อนที่ จึงเรียกความเร่งนี้ว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลางจะได้                              ขนาดของความเร่ง  จะหาได้ดังนี้         จากรูป 2. วัตถุมวล m  กำลังเคลื่อนที่เป็นแนวโค้งแบบวงกลม ด้วยความเร็ว   ณ ตำแหน่ง  A และตำแหน่ง B  มีขนาดความเร็ว  เท่ากัน   ใช้เวลา t  รัศมีความโค้งของการเคลื่อนเป็น R          ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้   คือ                                จาก                                                                                   จาก                                                                                                                      รูป 3 แสดงองค์ประกอบของความเร็ว          จากรูป 3. ในแนวแกน x  จะไม่เกิดความเร่ง เนื่องจาก ขนาดและทิศทางของความเร็วไม่ เปลี่ยนแปลง แต่ในแนวแกน y จะเกิดความเร่งเนื่องจากทิศทางของความเร็วเปลี่ยนไป จะได้                                                                                                      , เมื่อ     เป็นมุมเล็กมากๆ  จะได้  sin =                  จะได้                                                                         ……………………..*****                                 เมื่อ    เป็นมุมเล็กมากๆ  จะได้  ความเร่ง  ที่เกิดขึ้นจะอยู่ในแนวแกน y  และ มีทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง ดังนั้นความเร่งนี้จึงเป็น ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง                                                                                                 …………………….*****                                 จะได้                                                                                                              …………………….*****                                                       ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่เป็นวงกลม                 เมื่อวัตถุมีการเคลื่อนที่  สิ่งหนึ่งที่เกิดขึ้นคือ อัตราเร็ว ( v ) หรือ ความเร็ว (    ) ของวัตถุนั้น และการเคลื่อนที่ในแนวเชิงเส้น  หรือ เรียกว่าอัตราเร็วเชิงเส้นหรือความเร็วเชิงเส้น  เมื่อวัตถุใด มีการเคลื่อนที่รอบตำแหน่งใดๆ เช่นการเคลื่อนที่แบบวงกลม  การแกว่งของลูกตุ้ม  หรือการสั่น ของสปริง การเคลื่อนที่นั้นจะทำให้ระยะทางของวัตถุเปลี่ยนไปแล้ว  มุมที่เทียบกับตำแหน่งนั้น ก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเคลื่อนที่ในลักษณะที่ทำให้มุมเปลี่ยนไปนี้เรียกว่า เกิดอัตราเร็วเชิงมุม หรือความเร็วเชิงมุม  ดังนั้นการเคลื่อนที่แบบวงกลมจะมีอัตราเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงมุม มาเกี่ยวข้อง  ปริมาณนี้ในทางฟิสิกส์แทนด้วยสัญลักษณ์คือ    ( อ่านว่า โอเมก้า )        เราสามารถหาขนาดของอัตราเร็วเชิงมุมได้ดังนี้ รูป 4. การเคลื่อนที่ในแบบวงกลม                 เมื่อ    คือ  อัตราเร็วเชิงมุม  มีหน่วยเป็น  เรเดียนต่อวินาที  ( rad /s )                            คือ  มุมที่เคลื่อนที่กวาดไปได้   มีหน่วยเป็น  เรเดียน  ( rad )                          t    คือ  เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่    มีหน่วยเป็น  วินาที  ( s ) ความถี่และคาบ                      ให้  t   =    เวลา(s)       และ      n   =   จำนวนรอบ                     ความถี่  ( f )  ใช้กับการกระทำที่ซ้ำ หรือ ครบรอบ ในหนึ่งหน่วยเวลา                                 ความถี่  คือ  จำนวนครั้ง หรือ จำนวนรอบ ในหนึ่งหน่วยเวลา                 ความถี่  =      มีหน่วยเป็น   ครั้ง (หรือรอบ )ต่อวินาที , ( เฮิรตซ์ )                                มีหน่วยเป็น   ครั้ง (หรือรอบ )ต่อวินาที เรียกหน่วยนี้ว่า เฮิรตซ์  , ( Hz )                 คาบ  ( T )  ใช้กับ เวลา  ในการกระทำสิ่งนั้นๆ  หนึ่งครั้งหรือ หนึ่งรอบ                                 คาบ  คือ  เวลาที่ใช้  ในหนึ่งครั้งหรือหนึ่งรอบ                 คาบ  =      มีหน่วยเป็น   วินาที ต่อครั้ง (หรือรอบ ), วินาที ( s )                           มีหน่วยเป็น   วินาทีต่อครั้ง (หรือรอบ )  เรียกหน่วยนี้ว่า วินาที ( s )           ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่และคาบ                                    จะได้                              หรือ          ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเชิงเส้น( v ) และอัตราเร็วเชิงมุม (  )                 การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้จะหาได้จาก                                                   S             =             R                         ………………………….. ( 1 )                 เมื่อ  S   คือ  ระยะทางตามแนวเส้นรอบวงที่เคลื่อนที่ได้       มีหน่วยเป็น  เมตร  ( m )                            คือ  มุมที่วัตถุเคลื่อนที่กวาดไปได้รอบจุดศูนย์กลาง  มีหน่วยเป็น  องศา หรือ เรเดียน                        R   คือ  รัศมีของการเคลื่อนที่รอบจุดศูนย์กลาง  มีหน่วยเป็น  เมตร  ( m )                 และจากสมการ                                                      ………………………….. ( 2 )                แทนค่า     จากสมการ ( 1 ) ในสมการ ( 2 )                 จะได้                                                                  ,   เมื่อ  (    )                 จะได้                                                                      หรือ                                              v    =   R                              …………………..***** ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วเชิงเส้น (v )  อัตราเร็วเชิงมุม  ( )    คาบ ( T )   และ ความถี่ ( f )                 จาก                                                               เมื่อมีการเคลื่อนที่ครบรอบ จะได้      =  2   และ   t   =   T  เมื่อนำไปแทนค่าจะได้                                                                                                      …………………..*****                                 หรือ                                                            …………………..*****                                และจาก                 v    =   R                                  จะได้                                                       …………………..*****                                 หรือ                                                         …………………..*****                                                          ตัวอย่าง 1 โลกหมุนรอบตัวเองครบ 1 รอบ ใช้เวลา  24  ชั่วโมง  และรัศมีของโลกเท่ากับ                   6.37 x 10 6 เมตร  จงคำนวณหา                   ก. อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุบนผิวโลก                  ข. อัตราเร็วเชิงเส้น และขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลก วิธีทำ   ก. หาอัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุบนผิวโลก                   จาก                             ,  เมื่อ  T  =  24 x 3600  =  86400  s                                                             ตอบ   อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุบนผิวโลกเท่ากับ  7.27 x 10 – 5   เรเดียนต่อวินาที             ข. หาอัตราเร็วเชิงเส้นของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลก                   จาก              v    =   R                                                                                v  =    4.63 x 10 2    m /s                   ตอบ  อัตราเร็วเชิงเส้นของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลกเท่ากับ  463  เมตรต่อวินาที  - หาขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลก                   จาก                           และ        v    =   R                        จะได้                                                                 ac  =     ( 7.27 x 10 – 5   rad / s )2  ( 6.37 x 10 6 m )                                            ac  =     3.37 x 10 - 2 m / s2                      ตอบ  ขนาดของความเร่งสู่ศูนย์กลางของวัตถุที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรของโลก                               เท่ากับ 3.37 x 10 - 2 เมตรต่อ(วินาที)2 ตัวอย่าง 2. วัตถุมวล 2 กิโลกรัม ผูกเชือกยาว 1เมตร แล้วแกว่งให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม                     ตามแนวระดับด้วยอัตราเร็วคงที่ 2 รอบต่อวินาที จงหา                     1) ความเร่งสู่ศูนย์กลาง                     2) แรงตึงเชือก  ปัญหา :         1) หาความเร่งสู่ศูนย์กลาง                         2) หาแรงตึงเชือก           คิดวิเคราะห์ :                                   วิธีทำ:                                                       การเคลื่อนที่แบบกรวย Conical Pendulum           หมายถึง การเคลื่อนที่ของวัตถที่ผูกเชือกให้เคลื่อนที่ในแนวราบเป็นรูปวงกลมในลักษณะของ กรวยกลม กำหนดให้ มวล m หมุนเป็นวงกลมในแนวราบด้วยอัตราเร็วคงที่ V เมื่อหมุน เป็นวงกลม                                                           ตัวอย่าง 3. มวล M และ m ผูกเชือกคล้องผ่านท่อ PVC แล้วหมุนมวล m ให้ เคลื่อนที่เป็นวงกลม                    โดยมีอัตราเร็วคงที่สังเกตได้ว่า มวล M หยุดนิ่งไม่เคลื่อนที่ แสดงว่า แรงตึงเชือก T                     ซึ่งทำหน้าที่สู่ศูนย์กลาง และ แรง T ดึงมวล m ให้ หยุดนิ่ง               ตัวอย่าง 4. ถ้ามวล m หมุนในแนวระดับด้วยความเร็ว v โดย              ตัวอย่าง 5.                                          วิธีทำ                              ตัวอย่าง 6. จากการทดลอง เมื่อหมุนมวล m ให้เคลื่อนที่เป็นวงกลมดังรูป จงหาอัตราเร็วเชิงมุม        ตัวอย่าง 7. วัตถุมีมวล 0.8 kgผูกเชือก2 เส้นยาวเส้นละ 5 m ปลายของเชือกแต่ละเส้นแยกผูกกับ                    คานไม้ซึ่งตั้งในแนวดิ่ง โดยที่จุดผูกห่างจากกัน 8 m เมื่อคานหมุนรอบตัวเองด้วยอัตราเร็ว                    เชิงมุม 3 rad/s เชือกจะกางออกดังรูป จงหาความตึงเชือกแต่ละเส้น                        ปัญหา    หาแรงตึงเชือกแต่ละเส้น  คิดวิเคราะห์             รวบรวมข้อมูล                                      วิธีทำ                          ตัวอย่าง 8. ลูกกลม A และ B ผูกเชือกยาว 2 เส้น ยาวไม่เท่ากัน จับปลายทั้งสองเส้นเข้าด้วยกัน                    แล้วแกว่งเป็นวงกลมในแนวระดับดังรูป โดยลูกกลมทั้งสองใช้เวลาในการแกว่ง 1 รอบ                    เท่ากัน จงหาอัตราส่วนของความเร่งสู่ศูนย์กลางของ  A และ Bปัญหา   หาอัตราส่วนของความเร่ง A : ความเร่ง B คิดวิเคราะห์                    วิธีทำ                  แบบฝึกหัดการเคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวราบ  เมื่อนักเรียนทำเสร็จแล้วให้ส่งคำตอบที่  jas.pa@chaiyo.com     1. การเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นวงกลมด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอ ถ้ารัศมีของการเคลื่อนที่เพิ่มขึ้นเป็น 2 เท่า         โดยที่อัตราเร็วยังคงเท่าเดิม จะต้องใช้แรงเข้าสู่ศูนย์กลางเป็นกี่เท่าของอัตราเร็วเดิม         4. วัตถุมวล 10 กรัม ผูกที่ปลายข้างหนึ่งของเชือกน้ำหนักเบายาว 2 เมตร ถ้าจับปลายอีกข้างหนึ่ง         ของเชือกแล้วแกว่งให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ โดยให้ระนาบของวงกลมทำมุม         30 องศากับเส้นเชือก จงหาเวลาที่วัตถุชิ้นนี้แกว่งครบรอบได้เท่ากับกี่วินาที      5. วัตถุมวล m เคลื่อนที่เป็นวงกลมภายในกรวยหงาย ณ ตำแหน่งที่สูงจากพื้น 0.4 เมตร จงหา          ความเร็วของมวล m ที่เคลื่อนที่โดยไม่มีการลื่นไถล     6. วัตถุมวล 10 กรัม ผูกที่ปลายข้างหนึ่งของเชือกน้ำหนักเบายาว 2 เมตร ถ้าจับปลายอีกข้างหนึ่ง          ของเชือกแล้วแกว่งให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ โดยให้ระนาบของวงกลมทำมุม          30 องศากับเส้นเชือก จงหาเวลาที่วัตถุชิ้นนี้แกว่งครบรอบได้เท่ากับกี่วินาที